Беспилотники. Ч3: Схемы ИНС. Ортогональная против Избыточной.

В этой статье расскажу про две распространенные схемы размещения датчиков в ИНС беспилотника.

Другие части серии

Беспилотники. Ч1: что это за игрушка и как ею управляют
Беспилотники. Ч2: дроноприменение
Беспилотники. Ч3: Схемы ИНС. Ортогональная против Избыточной
Беспилотники. Ч4: Неортогональный блок и Матрица Направляющих Косинусов.

Сегодня в качестве Инерциальной Навигационной Системы на летательных аппаратах (в т.ч. и космических) принято использовать так называемые "Бесплатформенные" ИНС. Главное отличие БИНС от "платформенных" в том, что для последних с помощью специальных аппаратных решений имитировался горизонт местности, над которой аппарат в данный момент двигается. Имитатором горизонта выступала специальная стабилизированная с помощью сложной электромеханики платформа. В БИНС же горизонт текущего положения моделируется (имитируется алгоритмически, численно). Такое решение значительно дешевле и надежнее.

В свою очередь, при дизайне программно-аппаратного решения для БИНС существует два кардинально различных подхода в схеме размещения датчиков (см. Рис. 1): классический (ортогональный) и избыточный (неортогональный).

В случае классического подхода (некоторые инженеры называют такой подход "схема троирования"; Рис. 1, "черный блок справа") каждая ось чувствительности гироскопа совмещается с конкретной осью летательного аппарата. При такой схеме каждая ось чувствительности как бы является эксклюзивным, монопольным властителем одной конкретной оси аппарата.

Гироскопы и акселерометры могут быть одно-, двух- и трёхкомпонентные в зависимости от количества осей, по которым они могут производить измерения. Соответственно, один трёхкомпонентный гироскоп + один трёхкомпонентный акселерометр вместе позволяют реализовать минимальную БИНС по классической схеме троирования.

Неортогональная схема (Рис. 1., "черная пирамида" слева) сильно отличается от традиционной тем, что оси чувствительности гироскопов ориентируются параллельно линии боковой поверхности конуса с некоторым оптимальным углом при вершине. Для такой схемы размещения датчиков оптимальнее использовать однокомпонентные датчики, т.к. оси чувствительности (ОЧ) внутри многокомпонентных датчиков ориентированы строго ортогонально с некоторой инструментальной погрешностью. Следовательно, с использованием двухкомпонентных датчиков нельзя сделать один оптимальный конус. Можно сделать два конуса, т.е. два неортогональных блока, один из которых будет иметь неоптимальный угол раствора конуса. На трёхкомпонентных датчиках можно получить аж целых три избыточных блока. Один с оптимальной ориентацией датчиков (оси X1, X2, X3, X4, например) и два блока неоптимальных (Y1, Y2, Y3, Y4 и Z1, Z2, Z3, Z4). В случае дешевых iMEMS не особо страшно.. Можно предположить, что один оптимальный + два неоптимальных все-таки лучше одного единственного блока, раз уж мы пошли путем избыточной БИНС. В случае дорогих ВОГ'ов используют строго однокомпонентные гироскопы.

Кратко, плюсы и минусы обоих подходов:

Ортогональный блок:

+

• Минимум датчиков.
• Простой алгоритм обработки измерений.

-

• Случайная погрешность каждого датчика на 100% определяет погрешности оценки БИНС по соответствующей оси.
• При выходе из строя любого гироскопа или акселерометра приводит к аварии (ИИБ выходит из строя).

Избыточный блок:

+

• Оценка угловой скорости / ускорения по одной оси беспилотника вычисляется как взвешенное среднее сигналов всех датчиков в блоке. По статистике получается осреднение случайной погрешности.
• Избыточный блок будет функционировать до тех пор пока есть минимум три гироскопа и три акселерометра, т.е. повышается надежность.

-

• Нужно использовать больше датчиков, но, к примеру, микромеханические датчики стоят от нескольких десятков рублей при оптовой закупке с Aliexpress (MPU9250).
• Алгоритм измерения заметно усложняется, т.к. уже нужно решать “Переопределенную Систему Уравнений” (это когда переменных меньше, чем уравнений).

Алгебраические уравнения

Немного несложной математики, описывающей оба подхода в символьном виде.

Ортогональная схема:

В левых частях уравнений описано измерение сигнала каждой оси чувствительности гироскопа. Выходной сигнал датчика (напряжение или цифра) умножается на некий масштабный коэффициент, и получается оценка конкретного компонента вектора угловой скорости. В правых частях, соответственно, буквами G (Gyro) обозначены проекции угловой скорости на оси беспилотника. В итоге, получается три уравнения с тремя неизвестными, которая решается элементарно делением обеих частей уравнения на масштабный коэффициент.

Неортогональная схема

Что у нас здесь?
Коэффициенты N - это т.н. "Направляющие Косинусы", т.е. косинусы угла между конкретной осью чувствительности и конкретной осью беспилотника. В индексе значатся "{ось беспилотника} {номер датчика}".

Gx, Gy, Gz - проекции угловой скорости беспилотника на его оси XYZ.

G1, G2, G3, G4 - выходные сигналы с гироскопов.

Такая Переопределенная Система Линейных Алгебраических Уравнений (пСЛАУ) описывает случай, когда угловая скорость или ускорение аппарата проецируется сразу на четыре оси чувствительности гироскопов. В данной пСЛАУ в левых частях располагаются неизвестные нам компоненты вектора движения беспилотника, а в правых - измерения сигналов датчиков (маштабный коэффициент уже внутри, потому вместо U написал G).

Что не так с этой системой? А то, что уравнений в ней больше, чем неизвестных. А как нам известно из школьной алгебры, удовлетворить недоопределенной СЛАУ можно в общем случае бесконечным числом сочетаний неизвестных. Строго определенной СЛАУ можно удовлетворить строго одной комбинацией неизвестных. пСЛАУ же в общем случае точных решений не имеет. Мы не можем использовать с пСЛАУ метод Гаусса. Прямоугольная матрица не может быть инвертирована напрямую.

Для решения такого кейса существует подход с неоднозначным названием "Гауссовский Метод Наименьших Квадратов" (Гауссовский МНК). Он заключается в вычислении т.н. "псевдо-обратной" матрицы:

Это простой способ найти "оптимальную" комбинацию искомых Gx, Gy, Gz минимизирующих средне-квадратическое значение "невязки" между правыми и левыми частями.

Заключение

Выше описаны два подхода в проектировании инерциальных блоков для БИНС. Последняя формула описывает математически самый простой способ обработки информации избыточного неортогонального блока. В случае с обработкой информации инерциальных датчиков Гауссовский МНК на самом деле не дает оптимального решения.
Этот метод подразумевает, что статистические характеристики всех датчиков (осей чувствительности) совершенно одинаковы и нет корреляции случайных шумов между осями чувствительности. Т.е. шумы в измерениях датчиков должны быть центрированы вокруг нуля, дисперсии строго одинаковы, а корелляции шумов строго нулевыми. На практике же данные гипотезы нарушаются всегда. Поэтому нужно использовать более сложные методики, построенные на основе Гауссовского МНК.

Об этом пойдет речь в следующей статье.