Закон Бенфорда: точность или математический курьез?

О законе Бенфорда коротко: первые цифры в произвольных или упорядоченных числовых наборах реальных данных распределяются неравномерно.

Или вот так: таблицы тех чисел, которые основываются на источниках из реальности, показывают, что цифра 1 на 1-ом месте встречается намного чаще, чем все остальные. Примерно вот так (по Бенфорду):

Или уж совсем просто: в окружающей нас реальности маленькие вещи попадаются нам чаще, чем вещи большие. Маленькие озера и речки – чаще больших. Мелких камешков на земле значительно больше крупных. Больше книг малого формата, нежели гроссбухов. Низких зданий больше, чем небоскребов. Мелких аварий на транспорте неизменно больше, чем тяжких. В бухгалтерии количество проводок на небольшие суммы в разы превосходит количество больших. И т.д.

То есть. Цифры от единицы до четверки в первых позициях числовых наборов встречаются стократ чаще, чем цифры от пятерки до девятки. Можно ли говорить о применении такого забавного, на первый взгляд, закона на практике, в жизни? – спросит обыватель. А математики ему ответят: да! безусловно! однозначно! Используя закон Бенфорда, можно устраивать проверки финансовых документов на выявление ошибок – «вольных или невольных»)), анализировать результаты выборов – подтасовано или нет и т.п.

Проведенные Бенфордом исследования позволили ему не только обосновать закон доминирования единицы, но и вывести формулы, с помощью которых можно рассчитывать частоту присутствия той или иной цифры во всевозможных числовых массивах.

Математики всего мира достаточно долго сомневались: а так ли достоверен закон Бенфорда? Не искажает ли он незыблемую теорию вероятности, согласно которой абсолютно все цифры являются равными, одинаковыми? Но приверженцы расчетов Бенфорда отмечают, что при подсчетах следует руководствоваться не математическими умозрительными абстракциями, а самыми простыми примерами из обычной жизни.

Закон Бенфорда в действии. Пример: вы вносите в некий банк 1000 долларов под 10 процентов годовых. Следовательно к следующему году ваш вклад составит 1100 долларов. Еще через один год – 1210 долларов, далее – 1331 доллар и т.д. Единице еще долго предстоит быть первой цифрой вашего счета. Когда на вашем депозите будет 2000 долларов, уже первой станет двойка, уже она будет превалировать, но… не так долго, как единица. Когда ваш счет достигнет 9000 долларов, то итогом 10-процентного увеличения станет сумма больше 10000 долларов, т.е. единица снова станет первой! Причем, опять достаточно долго! Таким образом, можно говорить об изменении чисел, подчиняющихся закону Бенфорда:

Закон Бенфорда – прикладной закон. С его помощью финансовые отчеты проверяют на фальсификацию. Образно говоря, выясняют, не липа ли это, не пускание ли пыли в глаза)) В конце XX в. американский математик М. Нигрини заявил: закону Бенфорда должны быть подвластны и цифры, содержащиеся в налоговых декларациях, и значит факт несоответствия закону первой цифры свидетельствует о подтасовывании данных (о мухлеже)). Обосновывая эту теорию (а по сути развивая в ширь и в глубину прикладную составляющую закона Бенфорда), Нигрини подверг анализу свыше 200 тысяч налоговых деклараций и аргументированно доказал, что практически каждое 3-е число в подлинных, правдивых, неподдельных, честных отчетах неизменно начинается с единицы. Взяв за основу эти данные, Нигрини разработал и внедрил в жизнь программу, позволяющую проверять массивы чисел на соответствие математическому закону Бенфорда. В конце XX в. состоялось тестирование данной программы. Еще на этапе испытаний сотрудники налоговой полиции г. Нью-Йорка разоблачили семерых мошенников в рядах, казалось бы, законопослушных налогоплательщиков. Программу назвали «DigitalAnalysis», и ею сегодня активно пользуется всемирно известная компания «Ernst&Young». В наше время популярны также еще несколько тестов «DigitalAnalysis» (всего около 10-ти). Примечательно, что правительства некоторых штатов США разрешили официально считать формальной уликой несоответствие закону Бенфорду данных, предоставляемых в судах.

При всей широте использования закона Бенфорда надлежит помнить о том, что в повседневной жизни существуют-таки данные, в отношении которых закон Бенфорда не работает. Как нетрудно догадаться, это касается почтовых индексов, выигрышных чисел в лотерее, номеров телефонов и объемов тех данных, величина которых недостаточна для использования статистических приемов. Не смотря на это, созданная американским ученым программа совершенно обоснованно базируется на законе Бенфорда.

Эта разработка произвела настоящую революцию в аудите, ибо раньше предоставленные в декларациях сведения можно было проверять лишь избирательно, а вот сегодня при помощи закона Бенфорда и разработанной на его основе программы Нигрини стало реальным делом проведение проверок неограниченного количества документов. Да, результатам этих ревизий не следует доверять слепо и безоговорочно, да, они могут иногда приводить к ошибочным выводам, но невозможно отрицать, что эти проверки представляют собой важные добавочные улики в таких делах, как финансовые или бухгалтерские махинации или, например, фальсификации при проведении выборов.

картинка