Полтора землекопа или несколько слов о дробной размерности

Мы все привыкли к мысли, что живем в трехмерном пространстве. Высота, длина, ширина – это то, что позволяет измерить его.

Гладь воды – двухмерна. А вот яблоко, например, трехмерный объект. Можно легко представить, как будет выглядеть яблоко в двухмерном мире, – это будет круг. Можно ли превратить яблоко в двухмерный объект? Теоретически – да. Нужно срезать как можно более тонкий слой. Слой нулевой высоты. Это сложно сделать в жизни, но нам легко это представить. Ведь мы все помним из математики: шар – трехмерный объект, круг – двухмерный.

То есть отрезая от яблока части, мы уменьшаем его размерность. Мы помним, что целое яблоко было трехмерным. Отрежем кусок и получим уже чуть меньше трех…

Вот так мы и подошли к пониманию дробных размерностей. Думаете, что таких нет? Тогда я хочу познакомить вас с размерностью Хаусдорфа.

Мир сложнее и гениальнее, чем целые числа и простые формы. Между шаром и кругом есть множество фигур. Окружающий нас мир не такой гладкий, как шар, и не такой прямой, как линия. Яблоко, которое прогрыз червяк, является фигурой с размерностью больше двух, но меньше трех. Размерность Хаусдорфа позволяет учесть уникальность (неидеальность) форм. Дробную размерность еще называют фрактальной. Эта размерность не противоречит законам Евклидовой геометрии, и идеальный шар также имеет размерность равную трем.

В Евклидовом пространстве прямая линия и изогнутая линия имеют одинаковую размерность – 1. В пространстве Хаусдорфа прямая линия будет по-прежнему иметь размерность 1, а изогнутая – 1.02. И чем сильнее излом линии, тем большее значение будет иметь размерность.

Можно возразить, сказав, что размерность, как, например, количество землекопов, не может быть дробным числом. На что я отвечу - может! Если мы будем говорить о среднем количестве землекопов на район.

А вот факт реального существования идеальных Евклидовых форм как раз и можно поставить под сомнение. Вы уверены, что существует идеально гладкий шар? То, что кажется нам гладким, на самом деле имеет шероховатую поверхность, если разглядеть ее в большем масштабе. Да и само понятие размерности – понятие относительное. Далекая звезда в небе кажется нам точкой (размерность 0). Подлетев к ней ближе, мы увидим диск (размерность 2). Еще ближе – и мы уже разглядим шар (размерность 3).

Вы можете с уверенностью ответить, какую размерность имеет клубок шерстяных ниток? :)

Не спешите ответить – 3! Ведь нить – это изогнутая линия, а линия имеет размерность 1…

Да, мир однозначно сложнее, чем Евклидово его описание. Но и фрактальная теория бытия может быть лишь детским маленьким шажком к пониманию истины. А истина… ускользает, как всегда.