Неразрешимая задача трисекции. Через тернии к… очередным терниям.

      Предположив ранее, что «существует такая точка на прямой ON, из которой можно построить такую вписанную в угол AOB окружность, которая отсечет треть дуги AnB», пришлось постараться и таки ее построить геометрически правильно. На всякий случай я оставил часть построения новоизобретенным способом гомотетии вписанных окружностей. 

       Все смотрится красиво (на этот раз даже в цвете!), но задачка оказалась с подвохом, и не хотела поддаваться известным мне теоремам геометрии и пришлось помучить ее тригонометрией! Вспомнив школьный курс, решил обратить это построение в график с началом декартовых координат в центре материнской окружности с центром О. Задаем уравнения окружностей.

 Для материнской окружности:    

Для дочерней окружности: 

       Теперь объединяем их в систему уравнений и добавляем условия трисекции вписанной окружностью и для удобства расчетов материнскую окружность примем за единичную: 

       Путем подстановки всех известных значений и простых математических операций получаем уравнение:    

Очевидно, что корнем этого уравнения является:     

Хм.. Радиус дочерней вписанной в любой заданный угол    менее 180 градусов окружности, отсекающей треть от материнской, найден. Теперь необходимо заметить несколько закономерностей:

 1. Положение точки проекции N колеблется вблизи материнской окружности на расстоянии менее 1/10 ее радиуса, что позволяет этим способом искать возможность построения циркулем и линейкой. 

2. Угол OWN для всех заданных углов AOB составляет около 47 градусов. Подумаем, как можно будет это применить...  

3. Линейная зависимость радиусов дочерней и материнской окружностей.   

Минусы есть - мы не получили линейную зависимость положения точки проекции N от заданного угла, поэтому не будем останавливаться на достигнутом и далее будем определять эту закономерность, возможно даже поиском кореляционной  зависимости.