Неразрешимая задача трисекции. Дорога начинается с первого шага.

    Решив искать решение задачи на деление случайного угла на три равные части в построении некой отсекающей треть от случайной дуги окружности, построенной из вершины этого угла, пришлось приступить к созданию построения хотя бы любых вписанных в угол окружностей, что я описывал в предыдущей статье «Неразрешимая задача трисекции. В пути….». Итак, вооружимся цифровыми циркулем и линейкой. Возьмем угол AOB, построим случайную дугу AnB и хорду АВ:   

    Так, полюбовались на угол и – хватит! Следующим шагом построим биссектрису OR заданного угла и восстановим к ней перпендикуляр ON при помощи элементарных построений начертательной геометрии. На последующих этапах эти вспомогательные построения биссектрисы и перпендикуляра указывать не буду. 

    На чертежи машины времени все еще не похоже, поэтому продолжим загромождать построение. Для этого построим параллельную биссектрисе OR прямую MA, на которой отсекаем радиус дуги AnB из точки M и находим точку К. Для наглядности строим из нее окружность с радиусом AR и получаем контрольную точку Р. 

   Вот мы и подошли к кульминации, уже стало очевидно, что дальнейшее решение упирается в перпендикуляр ON и точки К и Р, так как есть и другие способы их построения. Для наглядности продлим перпендикуляр ON, чтобы не улететь в бесконечность и возьмем на нем случайную точку Х. Проведем из нее две прямых через наши заветные точки К и P, чтобы найти две другие еще более необходимый нам точки О2 и Y, лежащие на биссектрисе OR угла АоB. Построим окружность в точке О2 c радиусом O2R, которая (да не уж то?!) является вписанной в заданный угол АоВ: 

   А, чтобы развеять скепсис, впишем еще парочку:

  Теперь, когда есть подобный метод, сделаем вывод. Существует такая точка на прямой ON, из которой можно построить такую вписанную в угол AOB окружность, которая отсечет треть дуги AnB. Придется сильно постараться, чтобы ее найти, но не стоит отчаиваться и снова пора включить аналитическую машину.  Если кому-нибудь будет интересно, я опишу геометрическое доказательство вышеприведенного способа построения в одной из статей. А пока – буду пробовать делать следующий шаг.