Философские вопросы математики

Философские вопросы математики постоянно возникаютв современной монографической и учебной литературе. Очень наглядный пример такого (но неприемлемого для нас) подхода содержится в превосходной, что касается формального изложения математической части, книге В. Феллера. Для него соотношения теории вероятностей являются не чем иным, как «правилами игры».

В предисловии к переводу Колмогоров отмечал методологические недостатки книги Феллера. Я позволю себе привести из тогопредисловиядовольнозначительную цитату, поскольку она хорошо характеризует подход к этим вопросам.

Направленность и связь теории с опытом, Феллер излагает вопрос между теорией, опытом и практикой неправильно. Особенно отчетливо его ошибочная концепция изложена во Введении к книге. Феллер объявляет
здесь, что каждая научная теория должна рассматриваться с трех различных точек зрения:

1. с точки зрения ее формального логического содержания,
2. с точки зрения связанныхс ней интуитивных представлений
3. с точки зрения приложений. Философский анализ соотношений между этими сторонами дела Феллер объявляет не имеющим большого интереса. Способ применения математических теорий объясняется делом чисто техническим. Об обратном влиянии практики на развитие теории не говорится ничего вразумительного.

Излишне говорить читателю, что пропущено здесь основное звено: познание действительности. Только правильное знание и позволяет науке вернуться к практике, из которой она выросла, и руководить ею. Позабыв об этом, Феллер не может объяснить ни формального логического
строения научной теории, ни интуиции, ни возможности применений.

Что чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности, это, конечно, верно... Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди научились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже и
способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт исторического развития.

Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления.

Должныбылисуществовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны
были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть, весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать егопроисхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее как нечто безразличное; таким путем мы
получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины...

Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики. Но, как и во всех
других областях мышления, законы, абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира,противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться. Так было с обществом и государством, так, а не иначе, чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей, — и как раз только поэтому может вообще применяться.