[Популярно о математике]: математическое ожидание на реальных примерах

Всем привет! Любите ли вы математику так, как люблю ее я?

Я фанатка точных значений. Вещи, которые люди обычно описывают словами "хорошо", "плохо", "много", "мало", "лучше", "хуже", я стараюсь проанализировать и определить их числовое значение. Только оперируя числами можно провести объективный анализ и сравнение. Поэтому так полезно научиться проецировать математику на реальную жизнь.

Сегодня я хочу поговорить с вами на тему математического ожидания в контексте жизненных ситуаций. Я уже поднимала этот вопрос, но тот пост писался на эмоциях, о мат. ожидании как таковом 10 букв в 3 строки. Будем исправлять это недоразумение :), тем более, что тема очень интересная и самая что ни на есть прикладная.

О математическом ожидании на пальцах

Незнающим, что такое математическое ожидание, категорически возбраняется лезть за первыми знаниями в Википедию. Прочитав статью о МО, вы впадете в транс, и дай Бог, чтоб вы оттуда благополучно вернулись. Самая невинная и понятная цитата:

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины (распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей).

Не расстраивайтесь, вы не одиноки - я и сама ничерта не поняла с первого раза. Лучше объясню на примере, и вы сразу вникнете в суть идеи МО.

Турнир по покеру

Предположим, вам подарили билет на турнир по покеру. Довольно распространенное явление, кстати говоря, когда в качестве промо-акции покеррум (онлайн покер клуб) устраивает турнир с бесплатным входом и реальным призовым фондом. Называется эта вещь фриролл.

Допустим, призовой фонд фриролла 100$, приглашенных участников 10 штук. Внимание, вопрос! Каково ваше мат. ожидание от участия в турнире (заметка для покеристов: разность скилла не учитываем)?

Думаю, интуитивно вы нащупали ответ - 10$. Да! А если участников 20? Тогда МО участия вашего уже не 10$, а 5$ (100$ / 20 человек).

Бесплатный билет на Голосфест

фото взято из блога @orezaku

Рассмотрим еще один фриролл для закрепления - розыгрыш путевки на Голосфест.

• Условия: неограниченное кол-во желающих пишет посты о том, как сильно они стремятся на ивент; призовой фонд - 1 оплаченный билет на Голосфест (стоимостью 14 500 руб); возможен лишь 1 победитель
• Проведение: за время конкурса было написано 53 поста; если кому интересно - победил мусье @dreamer
• Считаем среднее мат. ожидание участия: 14 500/53 ~ 273.58 руб.

То есть, приняв участие в битве за путевку, вы использовали, образно говоря, "билетик" стоимостью 273 рубля. Разумеется, цифра средняя, она справедлива для равных шансов на победу каждого участника, что не соответствовало реальности. Но общий смысл, надеюсь, вы уловили.

Примеры с платным участием

Вверху мы рассматривали примеры, где участие в событии вам стоило 0 рублей (цену ваших усилий и времени будет считать = 0 руб пока что), фрироллы. А если за участие в игре нужно заплатить?

Сыграем в орлянку?

Гиперпростая азартная игра. Вы загадываете, что выпадет при подбросе монеты - орел или решка - и платите взнос за игру, а я, в зависимости от результата, выплачиваю или не выплачиваю награду.

Поскольку вероятность выпадения как орла, так и решки есть константа - 1/2, то в данном случае МО зависит от размера взноса и выплаты в случае выигрыша.

Случай 1: взнос 1$, выигрыш 10$. МО = 1/2*(+10$) + 1/2*(-1$) = +4.5$
Случай 2: взнос 5$, выигрыш 10$. МО = 1/2*(+10$) + 1/2*(-5$) = +2.5$
Случай 3: взнос 10$, выигрыш 10$. МО = 1/2*(+10$) + 1/2*(-10$) = 0$

Очевидно, что равенство взноса и выигрыша в орлянке есть условие, при котором возникает линия безубыточности - нулевое мат. ожидание. При смещении баланса игра может стать плюсовой или минусовой с т.з. одного из игроков.

Махнем в казино!

Классическая игра для примеров по мат. ожиданию - рулетка.

Рулетка!
Строго-строго не суди!
Рулетка!
Не хватает сил уйти!

На рулетке (я говорю о европейском ее виде) 37 секторов, от 0 до 36. Соответственно, вероятность выпадения конкретного числа - 1/37. Выплата - 1 к 35, т.е. выигравший забирает свою ставку, увеличенную в 35 раз.

Допустим, мы ставим 1$ на число 12. Каково МО нашей ставки?

МО = 1/37*(+35$) + 36/37*(-1$) ~ -0.02$

Это означает, что с каждой ставкой мы в среднем проигрываем 0.02$. Разумеется, в каждом конкретном случае мы или проигрываем 1$, или выигрываем 35$.

Таким образом, математическое ожидание - величина, показывающая, сколько мы в среднем приобретаем или теряем за одно действие.

Житейский пример

"Ну, мы по казино не шатаемся и в азартные игры не играем. Зачем мне это твое МО?", - скажете вы. Что ж, давайте напоследок рассмотрим пример, который относится к каждому, кто хоть раз бывал в магазине. То есть, ко всем, читающим сейчас этот пост :)

• Задача: стоит выбор между 2 видами пирожных. С №1 все в порядке, у №2 истекает срок годности. Второе стоит на 5 рублей дешевле. Вероятность отравиться 1%, стоимость лечения в случае отравления - 1000 рублей. Вопрос - выгодно ли покупать более дешевое пирожное?
• Решение: считаем МО = 0.99*(5руб) + 0.01(-1000руб) = 4.95 - 10 = - 5.05 рублей.
• Пояснение: при данных условиях каждый раз, покупая дешевое пирожное, мы совершаем невыгодное действие, а конкретно - теряем 5.05 рублей на длительной дистанции. Разумеется, при корректировке чисел (вероятность исходов, разница в цене, стоимость лечения) результаты могут меняться вплоть до противоположных. Тут уже играет роль, насколько точно вы интуитивно угадываете все эти величины.

Резюме

Любое наше действие можно оценить с точки зрения его математического ожидания в тех или иных единицах (доллары, человеко-часы, абстрактные индексы). Чем точнее вы можете его прикидывать, тем лучшие решения сможете принимать в неопределенных ситуациях.