Академия: "Теория игр". Блок #4

Конспект курса лекций для Академии от @ontofractal

Сегодня, в этом конспекте мы узнаем о двух новых классических моделях. Одна из них служит для анализа политической конкуренции (Хотеллинга — Даунса), а вторая — для олигополистической конкуренции (Курно).

Конспект модуля №4. Модель Хотеллинга — Даунса и модель Курно

1. Модель Хотеллинга — Даунса

Условия

В некой стране, имеющую двухпартийную систему, намечаются выборы
Существует некий вопрос, который будет решаться в зависимости от позиций разных партий
Игроки (партии) одновременно делают свой выбор, какую из позиций по вмешательству государства в экономику им занять
Отрезок от 0 до 1 — это политическое пространство. Где 0 — это полное отсутствие вмешательства государства. А 1 — полный контроль экономики. Точки на этом отрезке, как ползунок, склоняющейся в ту или иную крайность.

Описание игры

Все игроки — первая партия или кандидат (А) и вторая (В). Их множество: Р={А, В}.
Стратегии игроков:
Игрок А может выбрать любую позицию на отрезке — это его стратегия. Тогда: Sa = {a | a - любое значение от [0 до 1]}. Так же и стратегия игрока В. Sb = {b | b - любое значение от [0 до 1]}. Сообщают свою позицию, то есть число на отрезке, они в один момент. В нашей модели кандидатам не важно какую они получат долю голосов, но важно максимизировать вероятность победы.
Например: Игрок А выбрал позицию а = 0.2, а игрок В — b=0.8

Избиратели (не стратегические игроки) имеют своё мнение. Их мнения (xi) мы называем идеальными точками избирателей. Располагаются на этом же отрезке [0,1] и равномерно.
m— идеальная точка медианного избирателя.Такой избиратель, от которого в обоих направлениях на отрезке будет одинаковое кол-во остальных. Если m = 0.5, то это равномерное распределение избирателей. Избиратели при голосовании руководствуются только своей позицией предпочтения кандидату.

Платежи. Избиратель — ui(x)= - |x - xi|, где xi - идеальная точка избирателя, а x - позиция выигравшего кандидата. То есть, чем дальше на отрезке позиция избирателя от победителя, тем меньше его платёж. И соответственно наоборот.
Например: условный избиратель xi = 0.3 (xl) , а кандидаты a = 0.2, b=0.8.

Вычисления:

Если оба кандидата находятся на одинаковом расстоянии от условного избирателя, то он просто бросает монетку.

Решение
Используем равновесие Нэша.

Если а = 0.2, а b = 0.8, то каждый кандидат побеждает с вероятностью 1/2, так как они оба наберут равные кол-ва голосов. Это не равновесие, так как например А выгоднее изменить свою стратегию на ту которая расположена левее b. В таком случае он получит все голоса левее его позиции и ещё часть справа, то есть победит.

Если а = 0.1, а b = 0.4, тогда на выборах побеждает В. Это не равновесие, так как например А выгоднее изменить свою стратегию на ту которая немного правее b.

Если а = 0.5, и b = 0.5, тогда никому из кандидатов не выгодно отклоняться от своей позиции. Это равновесие, так как например если В уйдёт влево на позицию b', то он теряет голоса избирателей. Так же и В невыгодно уходить и вправо, и А невыгодно менять позицию. Профиль (0.5, 0.5) — равновесие Нэша. И уже видно, что других равновесий тут нет.

По этой причине, в ходе выборов, каждый из кандидатов стремиться к позиции медианного избирателя. И так же поэтому в двухпартийных выборах очень трудно увидеть разницу в программах кандидатов, ведь они оба ориентируются на медианного избирателя. Даже в случае, если программа какого-либо кандидата в начале предвыборной гонки полностью шла вразрез с позицией медианного избирателя, то всё равно позиция кандидата изменится по ходу гонки в сторону такого избирателя. В результате их позиции очень сложно различить.

Теперь добавим в нашу модель третьего кандидата. Следовательно выигрышный профиль (0.5, 0.5, 0.5) и каждого платёж 1/3.
Но, это не будет равновесием. Допустим кандидат А, немного сдвинется влево (в точку 0,49), то тогда кандидат А сможет собрать 49,5 %, в то время как всю оставшуюся долю голосов (50,5 %), кандидаты В и С разделят поровну по 25,25 %. В результате такого отклонения из точки 0,5 в точку 0,49 A смог увеличить свою полезность.

Если взять в пример профиль (0.15, 0.3, 0.7), то это будет равновесие. Потому что С бессмысленно отклоняться ведь он и так в выигрыше, а А может улучшить показатели, отклонившись к С или В, но он всё равно не сможет победить В или С, так же как и кандидат В. По этой причине, когда в гонке много партий, они могут занимать довольно разные предвыборные позиции.

Жизненный пример: выборы в Колумбии 2014 г.

Во 2-ой тур выборов прошли два кандидата. О. Сулуага (29%) и Х. М. Сантос (25%). Главным вопросом на выборах был вопрос о перемирии и переговорах с повстанческой группировкой FARC.
Политическое пространство — отрезок от 0 до 1. Переговоры в любом случае — 0, без переговоров — 1. Большинство избирателей (около 70%) были за переговоры, поэтому точка медианного избирателя смещена влево.
Сантос был больше за переговоры. Силуага — больше против.

Силуга, видя свою невыгодную позицию, начинает немного склоняться к переговорам. Он публично обещает то, что позволит ему завоевать голоса избирателей, при этом ему не обязательно впоследствии сдерживать своё обещание. Хоть и с маленьким перевесом, но всё же Силуга проиграл.

изображение по лицензии Creative Commons CC0

2. Модель Курно

Напомню, что она применяется для анализа фирм, конкурирующих на олигополистическом рынке (с небольшим количеством игроков). Впервые была сформулирована в 1838 г. французским математиком Огюстеном Курно.
Условия

В неком городе работают две фирмы, продающие сок
Каждая фирма максимизирует свою прибыль
Каждая фирма решает какой объем товара (сока) выпустить на рынок
Обе фирмы независимо и одновременно совершают свои действия

Описание игры

Все игроки — фирмы
Стратегии игроков.
Множеством возможный стратегий для каждой из фирм будет кол-во товара, которое может изменятся в диапазоне от 0 до бесконечности. Пусть q1 — стратегия первой фирмы, а q2 — стратегия второй.
Платежи.
Это разность между доходами и расходами или прибыли: n=pq - cq, где pq— это доходы, получающиеся умножением кол-ва товара (q) на его рыночную цену (p), которая формируется в результате решений, которые принимают обе фирмы. А сq — это расходы, полученные в результате умножения количества товара (q) на издержки производства одной его единицы (с), мы посчитаем = 0.
Рыночная цена: p=1 - (q1 + q2) = 1 - q1 - q2, если больше товара, тем меньше цена. Например, если в сумме фирмы выпустили 0 ед. товара, то его цена будет максимально высокой = 1, если же выпущено товара 1/2 единиц, то его цена будет равна 1/2.

Решение
Снова используем равновесие Нэша.

Фирмы произвели: q1 = 0.2, q2 = 0.3. Их прибыли в таком случае:

n1 = (1-q1-q2)q1 = (1-0.2-0.3) * 0.2 = 0.1,
n2 = (1-q1-q2)q2 = (1-0.2-0.3) * 0.3 = 0.15.

Это не равновесие, так как первой фирме выгодней произвести больше товара, например q1 = 0.3. Тогда её прибыль увеличится: n1=(1-0.3-0.3)*0.3 = 0.12. Второй, аналогично.

Фирмы произвели: q1 = q2 = 0.4. Тогда их прибыли будут одинаковыми и равны:

n1 = (1-q1-q2)q1 = (1-0.4-0.4) * 0.4 = 0.08,
n2 = (1-q1-q2)q2 = (1-0.4-0.4) * 0.4 = 0.08.

Это не равновесие, так как любой из фирм выгодней снизить кол-во произведённого товара. Например до 0.3, тогда прибыль возрастёт: n1 = (1-0.3-0.4) * 0.3 = 0.09.
Каждый раз когда фирма выпустит мало продукции, ей выгодно немного увеличить производство, а когда много — снизить. Продолжаем искать...

Прибыль фирмы: n1 = рq1 = (1-q1-q2)q1 = q1-q1q1-q1q2 = -q1q1+q1(1-q2)), квадратичная функция с графиком параболой с направленными вниз ветвями.

Если выпуск товара увеличивается, то и прибыль тоже, достигает своего пика и при ещё большим увеличении падает. В точке оптимального кол-ва товара (q) выигрыш фирмы от увеличения производства, будет равен сокращению доходов от уменьшения цены на рынке в результате этого. Это равновесие. Найдём это q.

Абсцисса вершины: q* = -(1-q2)/(2(-1)) = (1-q2)/2; q — функция от q2. Этой зависимости одной фирмы от выпуска второй дали название: кривая реакции. Если бы одна из фирма знала q2, она бы стала получать оптимальную для себя прибыль.

Мы видим, чтобы получить равновесие, каждая из фирм должна выпускать оптимальное количество товара:

q1* = (1-q2)/2,
q2 = (1-q1*)/2.

Эта система двух уравнений с двумя неизвестными, с корнями q1=q2=1/3. И профиль (1/3, 1/3) называется равновесием Курно или равновесие Нэша в модели Курно.

2.1. Монопольный сговор

Если две фирмы договорились об объединённом выпуске qоб = q1+q2. То их прибыль nоб. = (1-qоб.)qоб. Это снова квадратичная функция с параболой ветвями вниз. Абсцисса вершины в точке 1/2. Значит, чтобы достичь максимальной прибыли они должны производить 1/2 ед. товара. И этот максимум прибыли будет равен (1-1/2)*1/2 = 1/4, и доля каждой будет 1/8.

Если они не договариваются, то мы имеем 1-1/3-1/3)*1/3 = 1/9. Что, как мы видим меньше. Фирмам выгоднее договориться. Хотя если нарушить договорённость и отклониться, то это будет выгодно одной из них.

изображение по лицензии Creative Commons CC0

Что для вас было наиболее интересным и впечатляющим в данной неделе курса?

Применение изученных моделей на практике достаточно проблематично, так как они не учитывают множества факторов, которые могут существенно повлиять на конечных исход. Ведь стратегический анализ голосований трудно произвести обособленно. Так же как и монопольный сговор, в котором и выгодно всем и немного невыгодно никому. Каждая избирательная система, каждая схема, задает свою игру. Однако для "видения" механизма в целом, они дают хорошее представление.