Хитрая математика. Геометрическая иллюзия или дьявол - в деталях.

    

   Иногда школьники подкидывают мне какие-нибудь математические головоломки. Случается это редко, поэтому каждая такая ситуация воспринимается мною как небольшой праздник (балбесам интересна математика!) и запоминается. Особенно, когда я не могу решить то, что они притащили.

   История с геометрической головоломкой случилась уже давно, но я её помню очень хорошо. Тем более, что, когда я докопался до истины, то хохотал над собой.

   Итак, на одной из перемен перед уроком киндеры подсунули мне тетрадный листок с геометрическим рисунком. 

   Говорят: "Смотрите - квадрат разрезали на части и сложили из них прямоугольник".

   "Ну, клёво", - отвечаю я им, не отрываясь от заполнения журнала.

   "Конечно, - соглашаются маленькие бармалеи. - А найдите-ка площадь квадрата".

   А что её искать? Восемь клеток сторона. Значит, умножаем восемь на восемь, получаем 64.

   "Шестьдесят четыре", - отвечаю я им, прикидывая, как исправить неверно записанную тему урока. 

   "А теперь площадь прямоугольника", - не унимаются они.

   Вот народ. Совсем поглупели, проверяют меня на знания простейших формул. Считаю клеточки, длина - тринадцать, ширина - пять. Перемножаем...

   "Шестьдесят пять. И не мешайте мне с вашим журналом работать".

   "А как так?! - почти кричат детки. - Ведь должно быть одинаково!"

   Я опять гляжу на рисунок... И откладываю скучный журнал в сторону. В самом деле, какая-то фигня получается. У квадрата площадь - 64, а у прямоугольника, составленного из тех же кусочков - 65.

   Тут начинается спасительный урок, в течение которого я периодически тупо смотрю на картинку с головоломкой, пытаясь понять в чём фишка. Фигуры, из которых состоят квадрат и прямоугольник - пара равных трапеций, и пара равных прямоугольных треугольников. Прикидываю сумму их площадей: 

   Трапеции: 5*(5+3)=40, треугольники: 3*8=24, сумма: 40+24=64. Всё верно, всё сходится... но только для квадрата. Звенит звонок.

   "Я не разгадал, - признаюсь ученикам. - Буду думать до завтра".

   Наверное, нет смысла говорить о том, что всё оставшееся время на работе, как только выпадали свободные минуты, я возвращался к этому проклятому рисунку.

   Ответ явно скрывался в прямоугольнике, т.к. не он был исходной фигурой, а значит именно его площадь отличалась от эталонной. Я внимательно рассматривал картинку. Почему его площадь оказывалась больше на 1 единицу? Ведь составлен из тех же самых фигур! Как 64 стало 65? Или не из равных?

   А что, если начертить его покрупнее? Беру новый листок, увеличиваю масштаб и - опаньки! А ведь треугольники, из которых составлен этот чёртов прямоугольник, не точно такие же как в квадрате! Меньшие катеты у них немножко больше. Совсем на чуть-чуть, но больше!

   И если на их места положить треугольники из квадрата, то их гипотенузы не будут образовывать диагональ прямоугольника, а появляется небольшая щёлочка, которая и даёт лишнюю единицу к площади. 

   Но видно это будет только при большом масштабе! 

   И если вернуть рисунок на прежние клеточки ученической тетради, то головоломка опять становится неразрешимой.

   Моей радости не было предела. Причём, от решённых ранее гораздо более сложных задач я не получал такого удовольствия как от этой, найденной неизвестно где одним из моих учеников. А для себя я сделал вывод - надо тщательнее относиться к мелочам.

   И помнить, что знания - сила!

 

Понравился пост - подпишись на мой блог