Как представить? (длиннопост, майндфак)

Человек легко может представить что-то размером в доли миллиметра, или в несколько километров, или даже тысяч километров, если перейти в формат «суток на поезде» или «часов на самолете». А дальше – все. Например, 380 тысяч километров, как до Луны, представить почти невозможно. У обывателя за ненадобностью нет такого модуля в голове. Или как представить миллион лет, чтобы хоть немного прочувствовать эволюцию? 

В любом случае, мы стараемся оперировать знакомыми нам масштабами. Ну, например свет от Солнца до нас проходит 150 миллионов километров. Просто 150 чего-то, вполне можно представить, но миллионы отказываются помещаться в воображении. На помощь приходит скорость света – он нас до ближайшей звезды «всего» 8 световых минут – это на первый взгляд очень просто представить, но в минуту свет пролетает 60×3×100 000 километров, и это опять тупик. 

Попробуем немножко раздвинуть пределы возможного. Начнем с представления просто количества каких-либо объектов. В количестве 1 000 000. 

Что будет если обычного комара увеличить в миллион раз? Прикинем, длина комара 5 мм, это 0,005 метра. Значит при увеличении получится комарик длиной 0,005×1 000 000 = 5000 метров. Пятикилометрового комара вполне можно представить. Это часовая прогулка в среднем темпе от головы комара до хмм… гузки? Кормы? Чем там супер-комары заканчиваются? 

Давайте теперь для разминки уменьшим что-нибудь повседневное в миллион раз. Например железнодорожный вагон. Они конечно разные бывают, но обычно имеют в виду зеленый такой старенький, пахнущий углем, перегаром и носками романтичный плацкартный вагон РЖД. Его длина примерно 24 метра. И если сделать модель в масштабе 1:1 000 000, то получится вагончик длиной 0,024 мм, это уже за гранью возможностей представления размера, которая ограничена примерно 0,06 – 0,08 мм, то есть толщиной волоса. А тут состав из трех вагонов в длину такой получился. Может уменьшим Останкинскую башню? 540 метров. Магия: 540×10^(-6) = 0,00054 (пятьсот сорок метров умножить на десять в минус шестой степени) то есть, если в миллиметрах, то аж  больше половины миллиметра!

Поразмялись – отлично. Все что мы выяснили, так это миллионы, которыми мы кидаемся – это очень и очень много. Но это мы линейно умножали, а если пользоваться площадями или даже объемом, то можно сильно облегчить жизнь воображению. Попробуем? Возьмем газету, большую такую и классную, например «Ъ» формата А2 и развернем одну страничку. Площадь такого листа это четверть квадратного метра. А влезает на него 35 000 букв, это если фоторедактора выгнали на мороз, и картинок в газете нету. 

Находим хрущевку с большой семиметровой кухней, выносим хлам и аккуратно застилаем газетами пол. Теперь если залезть на табурет, то мы одновременно увидим 28 газетных листов во всей красе, а это 28×35000 букв, то есть 1 миллион (без каких-то 20 тысяч) объектов разом. Неплохо! 

На самом деле вы и сейчас видите миллионы объектов. Если вы читаете этот текст со старенького шестого «Айфона», то как раз видите 1 миллион пикселей (1334×750), а пишу я этот текст на Mac Pro с «ретиной», тут у меня 2880×1800, это чуть больше аж пяти миллионов светящихся точек! 

Прежде, чем переходить к числам побольше, давайте поиграем со временем. Обычный фильм длится пару часов, если ускорить его в миллион раз, то масштаб снова выпадет из доступной воображению зоны, кино продлится 7,2 миллисекунды, это чуть дольше, чем моргнуть. 9 сезонов «Санта Барбары» можно посмотреть за 67 дней с нормальной скоростью. Там всего 2137 серий по 45 минут. И если включить ускорение в миллион раз, то можно досчитать до шести, пока Круза будет играть то один, то другой актер. Не очень наглядно. Со временем все хуже, потому что тут никакие трюки с кубами и квадрамами не помогут – одно измерение, хоть ты тресни. Отсюда, кстати, вот это массовое недоверие к эволюции. Миллион лет назад (не минут, не часов, а лет!) по земле бегал вполне себе человекообразный Homo erectus, у которого в запасе была ни одна сотня тысяч поколений на пути к превращению в современную лысую обезьяну разумную.  

На этой не оптимистичной ноте возьмем что-нибудь посерьезнее, чем затхлый миллион. Обещала же майндфак, поехали. Для начала попробуем перечислить все большие числа, которые имеют человеческие названия и ими что-нибудь измеряется. 

1×10^9 

За миллионом у нас идет миллиард, это как миллион, только в 1000 раз больше. Что у нас считается миллиардами? Ну кроме непонятных денег? Людей на планете, например 7 миллиардов. 

Лирическое отступление для самых маленьких, которое должно было быть выше по тексту. «Людей на земле 7×10^9 штук» – что эта ерунда  значит. Это очень просто. Чтобы не стерлась кнопка «0» до основания, принято использовать «стандартный вид числа». Вот эта штучка ^ – обозначает возведение в степень. То есть мы сначала возводим 10 в степень, которая указана после «штучки», а потом умножаем на это первое число. 10^9 это 10×10×10×10×10×10×10×10×10 = 1 000 000 000. То есть 7×10^9 это как раз и будет семерка с девятью нулями, в газетных полосах на полу хрущевки это прям тоже дофига. 

Чего у нас еще бывает миллиард? Звезд на небе? А вот и нет. Если анонимус ночью вдали от городов и прочей засветки задерет голову к небу, то увидит не более 6000 звезд. Размер видимого участка не больше 1000 световых лет, и все это ближайшие звезды из рукава Персея – нашего галактического райончика. Вот тут есть весьма наглядная визуализация того, как выглядят 100 000 звезд.

1×10^12 

За миллиардам у нас идет триллион. С ним все гораздо хуже. Если продолжать считать газетными буквами, то нужно застелить газетками 3 площади Москвы. Никакой наглядности, увы. есть вот такая купюра достоинством в 100 триллионов Зимбабвийских долларов: 

Но это скорее песня о сверхмалом, чем о большом. Триллион секунд назад на Земле жили мамонты, а люди за ними бегали с копьями. И на коже у них (да и у нас сейчас) жили до 10 миллионов бактерий в каждом квадратном сантиметре. Если со взрослого стандартного самца спустить шкуру за какую-нибудь сексистскую шуточку, то получится 18 000 квадратных сантиметров, что при умножении на сосчитанных в одном сантиметре бактерий, дает почти 2 заветных триллиона. Грязное ты жывотное! 

1х10^15 

Квадриллионом в приличном обществе не ругаются. Энтомологи разве что могут себе позволить – муравьев на планете примерно миллион миллиардов. В 13-м году PayPal накосячил и зачислил одному счастливчику 92 с копейками квадриллиона денег. Рейнолдс, это имя квадриллионера, хотел отдать госдолг США и обрушить экономику, но ошибку быстро поправили. 

Дальше у нас идут такие страшные числа, как квинтиллион, септиллион и прочие октиллионы. Считать ими обычному человеку конечно нечего. 

Внимания стоит разве что секстиллион (10^21). По последним подсчетам, столько песчинок во всех пустынях на Земле, загадочным образом в такое же число оценивается количество звезд в обозримой Вселенной. Примерно на этом же числе Intel сбился со счета общего количества транзисторов в Мире. 

1х10^24 

Септильон. 2 септильона молекул в стакане воды. То есть единица с 24 нулями. Но давайте завязывать с мелочью и переходить к еще большим числам. 

И я не про этот ваш гугол, то есть 10^100, все равно число «асанкхейя» на 40 ноликов больше (10^140) это  количество космических циклов, необходимых для обретения нирваны. А гуглоплекс еще немного больше, но нам уже совершенно нечего померить в гуглоплексах, ведь это 1 с гуглом нулей, то есть 10^10^100. Никакого физического смысла это число не имеет, максимум, который мы можем как-то использовать, это общий объем Вселенной (обозримой), поделенный на минимальные кубики планковского размера, 10^(-35) метра то есть. И получится у нас примерно 10^185 кубиков, на этом всё. Меньше планковской длины не бывает, больше обозримой Вселенной не бывает. Приплыли. 

Но тут на помощь приходит чистая и не замутненная практическим смыслом математика. Вы же прекрасно знаете, что нет «самого большого числа». Всегда можно сказать, «самое большое число плюс один». Но это не очень интересная игра, я хочу рассказать о самом большом числе, которое когда-либо было задействовано в математическом доказательстве. 

Внимание! Если вы уже теряете нить разговора и перегреваетесь, то дальше лучше не читать, потому что эти ваши возведения 10 в степень – детский сад штаны на лямках, дальше обычному человеку можно только под кислотой. Вы наверное подумали, что сейчас мы гуглоплекс возведем в степень гуглоплекс и подумаем сколько вселенных нужно, чтобы такое число записать газетными буквами. Но все значительно хуже. 

Я приведу последние семь цифр этого числа: 4195387, и вы, конечно же, узнаете, что я скопировала их из статьи на Викимедии о числе, которое математик Грэм назвал своим именем (шутка). Перескажу вкратце, немного упростив, суть задачи, которую решал Грэм, и дорешался напрочь. 

Представьте себе куб. Добавьте мысленно к уже существующим ребрам отрезки, которые соединяют вершины друг с другом. Ну то есть добавьте по две диагонали на каждую грань куба и еще 4 пространственных диагонали. Представили? Супер. Теперь оказывается, что можно двумя цветами так раскрасить все эти отрезки, что особая их конфигурация, покрашенная в один цвет, не будет лежать в одной плоскости. Этого достаточно, не будем вдаваться в то, что такое копланарный полный подграф и при чем тут теории Рамсея – у меня нет цели даже в рамках саморазвития закапываться так глубоко. 

В терхмерном пространстве, все просто. Но математикам в нем до противного скучно, поэтому Грэм начал решать задачу с N-мерным гиперкубом. Вот так например выглядит проекция четырехмерного гиперкуба в трехмерное пространство, интерпретированное на двухмерной плоскости )) 

У четырехмерного куба 16 вершин, не нужно его представлять, тем более соединять вершины дополнительными отрезками и красить в два цвета, потому что, даже если получится сейчас, то с пятимерным провал гарантирован. А у нас тут N-мерное пространство, а N может быть и 7, и 10^7 и даже несколько больше. 

В общем, до определенного значения N никаких проблем не возникает, вроде бы сейчас уже при N=13 есть решения, а Грэм в свое время сломался на шести. А уже потом было доказано, что при определенном достаточно большом N задача снова имеет решение. Вот это «достаточно большое N» и есть число Грэма. 

Вы помните, что у нас 10^185 – это последнее «число с физическим смыслом». А число Грэма в гугол раз мощнее цыганского сглаза, но начнем мы с числа поменьше, а именно с числа g1 = 3↑↑↑↑3 

В школе, слава б-гу, не проходят математическую нотацию Кнута, потому что школьникам еще жить и жить, а мы с вами разберемся, что это за дьявольские стрелочки. 

Одна стрелочка обозначает просто возведение в степень. 

2↑2 = 2^2 = 4 

4↑4 = 4^4 = 256 

10↑10 = 10^10 = 10 000 000 000 

Ничего сложного. C двумя стрелочками то же все понятно: 

3↑↑3 = 3↑3↑3 = 3^3^3 = 3^27 = 7 625 597 484 987 

Дальше – хуже. 

3↑↑4 = 3↑3↑3↑3 = 3^3^3^3 = 3^7625597484987 = число из трех триллионов цифр. 

В общем, суть записи в том, что A↑B это высота степеней («башня»), которую нужно построить из первого числа. 4↑↑9 – башня из девяти четверок, а это непристойно много. 

Если вам придет в голову использовать три стрелочки, то история еще немного усложнится. Я просто вставлю иллюстрацию из статьи о стрелочной нотации с Википедии, лучше это все равно не описать: 

На этом сделайте глубокий вдох, потому что дальше что пятая стрелочка, что сто двадцать пятая – все одно. Синий экран смерти из-за перегрева межушного нервного узла. Но число 3↑↑↑3 я попробую объяснить. По-простецки две стрелочки сообщали высоту степенной башни. Так? Три стрелочки это уже высота башни высоты башни высоты башни степеней. С тремя стрелочками у нас было 3^3^3…...7 триллионов раз…^3. 

4 стрелочки наверное, предел того, что я могу хоть как-то описать человеческим языком. Опять картинку с Википедии, и даже цитату:  «Выражение  a↑↑↑↑b может быть записано, используя несколько колонок подобных степенных башен, где каждая колонна показывает число степенных башен в наборе слева». 

Применительно к нашему g1=3↑↑↑↑3 это значит, что нужно потратить всю вселенную на запись башен этих проклятых троек, и это все равно не будет само число, а будет лишь запись степени степени степени степени степеней, в которые нужно возвести тройку, чтобы получить это число. Вы наверное думаете, что по бессмысленности это рекорд, но всегда можно сказать «самое большое число плюс 1». Так вот. Число g2 это число в котором между тройками g1 стрелочек. 

Если башню степеней 3↑↑↑3 (три стрелочки) можно представить записанной мелким почерком в пределах куска солнечной системы (не само число, а только записать 3^3^3^3^.....^3^3). Для записи башен степеней числа 3↑↑↑↑3 (4 стрелочки) нам уже не хватит инерции колеса Сансары, то g2 = 3↑↑↑…g1 стрелочек...↑↑↑↑↑↑3 – тут я сдаюсь, мои хорошие. Просто напишу, что есть, конечно же, и g3 – где число стрелочек между тройками равно g2. А за ним комарики на воздушном шарике за ним g4, g5, g6 и так до g64, и каждое образуется по тому же принципу. Вот g64 и есть ЧИСЛО ГРЭМА. 

Возьмем эту вашу струнную мультивселенную, сколько там «пузырьков» типа нашего Мира, вроде примерно 10^500 – ок. Засыплем каждую вселенную Мультиверса доверху какими-нибудь шариками плотненько, да хоть нейтронами. Потом представим (хаха), что в каждый нейтрон у нас влезает еще по Мультиверсу и в них тоже утрамбуем нейтронов с горкой. И так 64 раза. Будет много, но все равно g64 больше. 

Теперь, понимание масштабов миллионов, миллиардов для вас – как семечку съесть. Все это было для того, чтобы слегка поднять планку возможностей воображения, ведь для современного человека жизненно необходима система осознания своего места в мире. Чувствовать себя песчинкой, глядя на звезды – это слишком оптимистично. 

PS: Я очень надеюсь, что меня не читают математики, потому что я допустила ряд упрощений умышленно и неумышленные ошибки вкрались в мои рассуждения, потому что математику я хоть и люблю, но не настолько сильно. 

За картинки выражаю благодарность Яндекс-картам, лицензии CC0, безымянным клипарт-дизайнерам, монетному двору Зимбабве, сайту antropogenez.ru, Илье Ефимовичу Репину и сайту NASA.