Экскурс в теорию – часть 1. Геометрические фракталы и «снежный парадокс».

Геометрические фракталы – это основа основ. Собственно говоря, с них все и началось. Так сложилось, что геометрическим фракталом принято называть лишь изображение «фантомного» (возможно, неизвестного нам) фрактала (математического множества с дробной размерностью), то есть рисунок без привязки к формуле. Ярким примером геометрического фрактала является Снежинка Коха.

Именно геометрический фрактал был замечен Бенуа Мандельбротом во время исследований электронных шумов, мешавших передаче данных на расстояние. Напомню, что когда Мандельброт изучал полученные графики электронных шумов, то обнаружил их идентичность на разных временных масштабах. То есть абсолютно не важно, наблюдал он график шумов за час, за неделю, за год – картинка перед ним была одна и та же.

В принципе геометрический фрактал может построить любой (даже не шарящий в геометрии :-) ) человек. Для этого можно просто взять любую примитивную геометрическую фигуру в качестве основы, как это делается в Снежинке Коха (у Коха это равносторонний треугольник).

На следующем шаге нужно выделить для себя однотипные элементы фигуры, которые в дальнейшем просто будем заменять на аналогичные (либо подобные). В Снежинке Коха выделяется средняя треть линии равностороннего треугольника, и за вычетом нее строится подобный исходному треугольник. С новыми элементами поступаем также, как с первым и так далее, пока масштаб не позволит проводить дальнейшие действия.

Есть очень занимательный математический парадокс в Снежинке Коха:
Так как операции замещения элементов при построении Снежинки Коха являются бесконечными, то можно смело утверждать, что и периметр ее, как геометрической фигуры, равен бесконечности. А теперь поместим нашу Снежинку в окружность с известной нам площадью…

И вот наша бесконечная Снежинка поместилась в круг, что говорит о том, что ее линии очерчивают какую-то конкретную площадь. НО! Площадь сложных фигур всегда вычисляется как сумма площадей составляющих ее примитивов. У Снежинки Коха примитив – треугольники… Бесконечное число треугольников.. А это значит, что и площадь Снежинки будет стремиться к бесконечности. Парадокс.

@flow для сообщества Fractal

Дизайн: @dasarts