"Святой" математик Григорий Перельман и премия тысячелетия в 1 млн $ за решение гипотезы Пуанкаре - "Формулы Вселенной"

Мама Григория Перельмана: «Не задавайте нам вопросов о деньгах!»
Нашему гениальному соотечественнику математику Григорию Перельману удалось решить одну из семи задач тысячелетия и математически описать так называемою формулу Вселенной - доказать гипотезу Пуанкаре. Над этой гипотезой наиболее светлые умы бились более 100 лет, и за доказательство которой математическим институтом имени Клэя был обещан $1 млн. Её вручение прошло 8 июня 2010 г. Григорий Перельман не появился на вручении.

Частный математический Институт Клэя получил широкую известность после объявления 24 мая 2000 г. списка из семи математических проблем тысячелетия. Эти проблемы определены как важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет. За решение каждой из них предложен приз в один миллион долларов США.

Институт Клэя провёл параллель со списком 23-х математических проблем Гильберта, составленных в 1900 г. и оказавших в XX в. существенное влияние на математику. Большинство проблем из списка Гильберта уже решены. В список института Клэя перекочевала единственная из них – гипотеза Римана.

Одной из задач в списке института Клэя значилась гипотеза Пуанкаре. Её в 1904 г. сформулировал французский математик Анри Пуанкаре. В 2002-2003 гг. доказательство гипотезы было изложено Григорием Перельманом в трех статьях и затем подтверждено математическим сообществом. За её решение в марте 2010 г. Григорию Перельману был присуждён пока единственный из обещанных миллионов. Ранее в 2006 г. ему присудили медаль Филдса – аналог Нобелевской премии для математиков. Обе награды Григорий Перельман принять отказался.

Гипотеза Пуанкаре

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере

Теорема Пуанкаре — «это центральная проблема математики и физики, попытка понять какой формы может быть Вселенная, к ней очень трудно подобраться» математик Маркус Дю Сотой из Оксфордского университета
Доказательство гипотезы позволит понять, какая форма у нашей Вселенной, обоснованно представить, что форма Вселенной - это трехмерная сфера. Если Вселенная - «фигура», которую можно стянуть в точку, то, наверное, можно и растянуть из точки. Что служит косвенным подтверждением теории Большого взрыва, которая утверждает что Вселенная как раз и произошла из точки.

Человек, который доказал гипотезу Пуанкаре - Григорий Перельман, наш соотечественник. Он блестяще справился с этой сверхсложной задачей, а после непредсказуемо беспрецедентно отрекся от заслуженного вознаграждения в один миллион долларов.

Доказательство гипотезы Пуанкаре потребовало от Григория самоотверженности, упорного труда, уединения, отречения и искры гения. В итоге, он мог бы заслуженно стать очень богатым человеком. Тем не менее, он отказался от денег, всех почестей и освободился от оков славы и одобрения, и поэтому его можно назвать «святым математиком».

"В начале 1990-х Григорий провёл несколько лет в США, вернулся оттуда не в самом лучшем настроении. Говорил, что мир математики продажен, что математические теоремы можно продать, купить, поделиться ими, взяв себе липовых соавторов, которые сначала предлагают гранты в университетах, а потом говорят: «Мы напишем совместную работу». Он написал заявление об увольнении из Математического института им. Стеклова. Для Гриши был тяжёлый период, когда обсуждали доказательство гипотезы Пуанкаре. Сначала математический союз выяснял, кто же именно её доказал - Гриша, который опубликовал короткие работы, или те люди, которые после его приезда в Штаты и многочисленных лекций написали книжки по 400-500 страниц. В 2006 году история, казалось бы, закончилась, Международный математический союз присудил Грише Филдсовскую медаль. Это значило: доказательство принадлежит Перельману. Но потом 4 года Институт Клэя не присуждал ему премию в 1 млн долл. Все эти годы они обсуждали, доказал ли Перельман гипотезу." Сергей Рукшин, преподаватель Григория Перельмана, заслуженный учитель РФ, тренер двух Филдсовских лауреатов.
Рождение гения

Григорий Яковлевич Перельман родился 13 июня 1966 года в Ленинграде в семье инженера-электрика и учительницы математики, а спустя десять лет у него появилась сестра Елена – в будущем тоже кандидат математических наук. Помимо любви к классической музыке, привитой матерью, Григорий с детства проявлял интерес к точным наукам: в пятом классе он начал посещать математический центр при Дворце пионеров, которым руководил Сергей Рукшин, молодой математик из Ленинградского университета, а после восьмого перешел в школу № 239 с углубленным изучением математики, которую окончил без золотой медали только из-за недостатка баллов по нормативам ГТО.

"Он был нормальным, открытым миру человеком, очень правильно воспитанным советским мальчиком. Например, он не верил в государственный антисемитизм, не верил, что его могут не взять на олимпиаду, потому что он еврей. Если бы не физкультура, мог бы и медаль получить». При этом он замечательно играл в настольный теннис, любил волейбол." бывшая директор школы № 239 Тамара Борисовна

В 1982 году он в составе школьной команды получил золотую медаль на 23-й Международной математической олимпиаде в Будапеште. Тогда евреев в сборную СССР брали неохотно. И, если бы не помог назначенный руководителем сборной команды СССР по международной олимпиаде Александр Абрамов, Гришу не выпустили бы за границу.

Вскоре после этого Григорий был зачислен на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета без сдачи экзаменов. В вузе за примерную учебу Перельман получал Ленинскую стипендию. В университете он познакомился с одним из величайших математиков того времени Александром Александровым, который познакомил его с геометрией.

Александр Данилович Александров (1912–1999) советский и российский математик, физик, философ; альпинист. Организатор образования и науки в системе высшей школы. Ректор Ленинградского государственного университета. Академик АН СССР и РАН. Заслуженный деятель науки и техники РСФСР. Лауреат Сталинской премии. Мастер спорта СССР.

В 1990 году под научным руководством академика Александра Даниловича Александрова (основоположника так называемой геометрии Александрова – раздела метрической геометрии) Перельман защитил кандидатскую диссертацию на тему «Седловые поверхности в евклидовых пространствах». Затем в должности старшего научного сотрудника продолжил работать в лаборатории математической физики института Стеклова, успешно развивая теорию пространств Александрова.

Можно думать, что за достижения Григория Перельмана его с готовностью возьмут в аспирантуру Ленинградского филиала Математического института им. В. А. Стеклова. Тем не менее, в 80-е в этот институт не было принято ни одного еврея. А. Д. Александров обратился к директору с просьбой разрешить Перельману под его руководством закончить аспирантуру в Ленинградском филиале Математического института им. В.А. Стеклова. Просьба была удовлетворена. Александров в итоге стал его официальным руководителем, на практике же эту роль взял на себя Юрий Бураго. Перельман защитил диссертацию на тему « Седловые поверхности в евклидовых пространствах» в 1990 году.
Бураго связался с Михаилом Леонидовичем Громовым, который в то время работал в Institut des Hautes Études Scientifiques / Институт высших научных исследований, который находится недалеко от Парижа. Он объяснил Громову, что у него есть одаренный аспирант, и можно ли ему провести несколько месяцев в IHES для работы с Громовым над пространствами Александрова. Громов согласился. Первая большая статья Перельмана, написанная совместно с Бураго и Громовым, называлась: "Пространства А. Д. Александрова ограниченной кривизны" (1992).

Михаил Леонидович Громов род. 1943г. - советский, французский и американский математик, доктор физико-математических наук, лауреат Абелевской премии. Иностранный член РАН. Внёс большой вклад в развитие метрической геометрии, симплектической геометрии, римановой геометрии, геометрической теории групп. В 1974 году с семьёй покинул Советский Союз по израильской визе и через Италию переехал в США. До 1981 года был профессором Университета штата Нью-Йорк в Стоуни-Брук, в 1981—1982 годах — Университета Парижа VI. С 1982 года работал в Институте высших научных исследований во Франции, где занимал позицию постоянного профессора. В 1991—1996 годах — профессор Мэрилендского университета в Колледж-парке. С 1996 года — профессор Нью-Йоркского университета

После стажировки в IHES Перельман вернулся в Математический институт им. Стеклова в Ленинграде, но благодаря Громову Перельман был приглашен в Соединенные Штаты, чтобы выступить на Фестивале геометрии 1991 года, проходившем в Университете Дьюка в Дареме, Северная Каролина. В итоге, Григорий прочитал лекции о совместных исследованиях Перельмана, Бураго и Громова пространств Александрова. В 1992 году Перельмана пригласили провести осенний семестр в Институте Куранта Нью-Йоркского университета в качестве постдокторантуры, а весной 1993 года - семестр в Стоуни-Брук, кампусе Государственного университета Нью-Йорка, наградив Перельмана стипендией.

1904: Эпохальный вопрос

1904 год - французский математик Анри Пуанкаре сформулировал эпохальный вопрос:

«Если трехмерная форма односвязна, гомеоморфна ли она трехмерной сфере?»
Более научно это т вопрос звучит так: Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере

Анри Пуанкаре в 1904 г. сформулировал знаменитую гипотезу в виде небльшой заметки на полях 65 страничной статьи, посвящённой совершенно другому вопросу и закончил словами: «Ну этот вопрос может слишком далеко нас завести»…

Гипотеза Пуанкаре

Анри Пуанкаре (1854 - 1912) причисляют к величайшим математикам всех времен. На пару с Давидом Гильбертом он считается последним ученым-универсалом, способным охватить все математические результаты своей эпохи. Французский математик, механик, физик, астроном и философ. Глава Парижской академии наук, член Французской академии и ещё более 30 академий мира, в том числе иностранный член-корреспондент Петербургской академии наук.

Гипотеза Анри Пуанкаре, выдвинутая в 1904 г. каксается топологии - раздела математики, связанного с изучением форм и их взаимосвязей. Она имеет дело со свойствами геометрических форм, которые сохраняются, если форма растягивается, скручивается, изгибается. Иными словами, деформируется без разрывов, разрезов и склеек. Топология важна для математической физики, поскольку позволяет понять свойства пространства, оценить его, не имея возможности визуально представить форму этого пространства, например, нашу Вселенную.

Топология — раздел математики, изучающий: в самом общем виде — явление непрерывности; в частности — свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Например, связность, ориентируемость, компактность. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) — неотличимы. Википедия

Гомеоморфизм

Топология, говоря о гомеоморфизме, определяет его как взаимно-однозначное соответствие между точками одной и другой фигуры. Фигуры гомеоморфны, если одну фигуру можно получить произвольной деформацией из другой, причем это преобразование ограничено некоторыми свойствами поверхности фигуры: её нельзя рвать, прокалывать, разрезать. Если куб раздуть, он легко может стать шаром, если шар примять встречными движениями, можно получить кубик.

Многообразие

Если объект или пространство разделить на множество составных частей – окрестностей, окружающих какую-то точку, - то их общность называют многообразием. Именно такое понятие содержит теорема Пуанкаре.

Связность

Связность означает, что любую непрерывную замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная сфера односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока, можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока). С другой стороны, окружность и тор неодносвязны. Простыми словами можно говорить так: если поверхность шара обернуть петлей из резиновой ленты, она, сжимаясь, соскользнёт. Этого не произойдет, если имеется отверстие, как у тора-бублика, сквозь которое можно продеть эту ленту. Таким образом определяется главный признак сходства или отличия объектов. Мы говорим, что яблоко «односвязно», но поверхность бублика не просто связана.

Компактность

Многообразие компактно, если любой его гомеоморфный образ имеет ограниченные размеры.

Что такое трехмерная сфера - смысл теоремы Пуанкаре

Обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар — трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего), т. е. - это поверхность четырехмерного шара. В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам сложно их представить.

Гипотеза Пуанкаре означает, что если наша Вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она пространственно является трёхмерной сферой.

Григорий Перельман принимает вызов

В 1999 г. профессор Колумбийского университета Ричард Гамильтон опубликовал статью, сыгравшую значительную роль в развитии гипотезы Пуанкаре. Гамильтон первым использовал поток Риччи - система дифференциальных уравнений в частных производных, нелинейный аналог уравнения теплопроводности, описывающий деформацию римановой метрики на многообразии для решения гипотезы Пуанкаре. Потоки Риччи позволяют деформировать многообразие (пространство), но в процессе деформации возможно образование сингулярностей – точек, в которых кривизна стремится к бесконечности. Из-за этого Гамильтон пришел в тупик. В итоге, Гамильтон не смог двигаться дальше.

Ричард Гамильтон - профессор математики Колумбийского университета, член Национальной академии наук США, Американской академии искусств и наук. Выдающийся математик, выпускник Йельского университета и доктор философии Принстонского университета

Во время пребывания в США Перельман специально ездил из другого города на лекции Гамильтона - этого неординарного ученого. После одной из них Перельман, поборов свою застенчивость, поговорил с Гамильтоном. “Мне было очень важно расспросить его кое о чём”, – вспоминал Перельман. “Он улыбался и был очень со мной терпелив. Даже рассказал пару вещей, которые были опубликованы им только несколько лет спустя. Он, не задумываясь, делился со мной. Мне очень понравились его открытость и щедрость. Могу сказать, что в этом Гамильтон был не похож на большинство других математиков”.

Встреча Гамильтона с Перельманом была решающей. Перельман написал Гамильтону, что, по его мнению, сможет разрешить гипотезу Пуанкаре. Гамильтон не ответил. Перельман принял вызов.

Григорий Перельман вернулся в Санкт-Петербург, где бы он мог спокойно посвятить себя решению этой задачи тысячелетия. Когда он вернулся, его отец уже уехал в Израиль, а его сестра Елена переехала в Германию.

Григорий написал заявление об увольнении из Математического института им. Стеклова. Он закрылся от всех своих друзей и родственников. Он был одержим задачей доказательства гипотезы Пуанкаре. Ни один, не два, а долгих семь лет ...

Доказательство

В итоге, 11 ноября 2002 г. Перельман открывает сайт arXiv.org и отправляет свою революционную статью: «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения».

В этой статье, Перельман был краток. Доказательство гиротезы - это статья объемом всего 39 страниц, на английском языке, подписаннная именем «Гриша Перельман».

Мир математики погрузился в состояние шока. Во-первых, доказательство было слишком коротким, трудным для понимания. Во-вторых, демонстрация доказательства проблемы тысячелетия посредством просто статьи в Интернете, это казалось абсурдной идеей. Российский математик не пошел положенной дорогой – публикация в специализированном журнале с обязательной рецензией.

Выложенная Перельманом в интернете статья была на самом деле только первой частью доказательства. Но для математиков было достаточно и этого, чтобы понять, что Перельману удалось решить задачу Пуанкаре. Барри Мазур, математик из Гарварда, описывая решение Перельмана, использовал сравнение с погнутым автомобильным крылом.

“Представьте, что у вашей машины погнуто крыло, и вы звоните в автомастерскую, чтобы узнать, как вам его выпрямить. Вам будет очень трудно объяснить это автомеханику по телефону. Придётся приехать в мастерскую, чтобы механик смог исследовать повреждение. Только после этого он сможет сказать, в каком месте по крылу нужно постучать. Гамильтон ввел понятие, а Перельман завершил описание процедуры, которая работает независимо от вида повреждения. Поток Риччи, будучи применен к любому трехмерному пространству, сгладит все шероховатости и выпрямит все выбоины. Автомеханику даже не потребуется смотреть на вашу машину – достаточно будет просто применить уравнение”. Перельман доказал, что “сигары” (название сингулярностей), особенно беспокоившие Гамильтона, на самом деле не могут образоваться под воздействием потоков Риччи. Проблема “перешейков” оказалась решаемой с помощью серии сложных хирургических манипуляций – вырезания сингулярностей и латания неровных краев. “В результате мы получили инструмент, с помощью которого возможно сглаживать неровности и в критических ситуациях контролировать разрывы” Мазур

Григория пригласили прочесть курс лекций по статье в Массачусетском технологическом институте. Подобные предложения пришли и от коллег из Принстона и Стони Брук. Перельман принял все приглашения, запланировав целый месяц лекций, начиная с апреля 2003 г. “Почему бы и нет?”.

После, Григорий в течение месяца разъяснял в университетах США суть своего открытия. Для Перельмана это был тяжёлый период, Приезд Перельмана в США в 2003 г. не был отмечен пышностью и величием, но все понимали, что его лекции имеют революционный характер. Серия лекций, которую он прочитал тогда, открыла новую эру. Пресса сочла это важным событием, возможно, перевернувшим историю математики. Среди многих высокопоставленных лиц на лекциях Перельмана присутствовали профессор Эндрю Уайлс (тот, кто доказал Последнюю теорему Ферма), Джон Болл, Джон Форбс Нэш-младший.

К огромному удивлению большинства присутствовавших, Перельман ни словом не обмолвился о задаче Пуанкаре. “Человек доказал одну из величайших теорем математики и ни разу её не упомянул”, – рассказывал Фрэнк Куинн, математик из Вирджинского технологического. “Он обозначил некоторые ключевые моменты и особые свойства своей работы и перешёл к ответам на вопросы. Он упрочивал свою репутацию. Если бы он начал бить себя в грудь и кричать ‘Я решил её!’, он столкнулся бы с сильным противодействием со стороны аудитории”. Фрэнк Куинн добавил: “Люди пришли посмотреть на диковинку. Перельман был гораздо более нормальным, чем они ожидали”.

Перельман был разочарован тем, что Гамильтон не пришёл ни на первую лекцию, ни на лекцию в Стони Брук.

“Я являюсь последователем Гамильтона, хотя и не получил его благословения” Перельман.

Однако на лекции в Стони Брук присутствовал Джон Морган, математик из Колумбийского университета, где в то время преподавал Гамильтон. После лекции Морган пригласил Перельмана прочесть лекцию и в его университете. Перельман, надеясь встретить там Гамильтона, согласился. Гамильтон опоздал к началу лекции и не задал ни одного вопроса – ни во время долгой дискуссии, последовавшей за лекцией, ни после неё во время совместного обеда. “У меня сложилось впечатление, что Гамильтон прочёл только первую часть моей статьи”, – признался Перельман.

Заявление Перельмана потрясло Гамильтона - “Нам казалось, что найти решение не под силу никому”

К середине июля 2003 г. Перельман выложил в интернете остальные две части своей статьи, и математики начали скрупулезный процесс изучения доказательства, шаг за шагом проверяя логику. В Соединённых Штатах проверкой занимались как минимум две команды экспертов: математик Ганг Тян, совместно с Джоном Морганом и пара исследователей из Мичиганского университета. Оба проекта получили поддержку института Клэя, планировавшего издать результат Тяна и Моргана в виде отдельной книги. Эта книга должна была послужить руководством для других математиков, пытающихся понять логику доказательства Перельмана.

В июле того же 2004 г. Национальный Фонд Науки США выделил на изучение открытия Перельмана около миллиона долларов в виде грантов – Гамильтону, Яу и нескольким ученикам Яу. Вокруг задачи Пуанкаре и попыток её решения сформировалась целая отрасль математики, и теперь эта отрасль находилась на грани исчезновения. Майкл Фридман, получивший Филдсовскую медаль за доказательство задачи Пуанкаре для четырёх измерений, в интервью Таймс сказал, что доказательство Перельмана вызвало “тихую грусть в сердцах исследователей именно этой ветви топологии”. Юрий Бураго сказал: “Доказательство закрывает целую отрасль математики. После него многим учёным придется переключиться на исследования в других областях”.

В мае 2006 года комитет из девяти математиков проголосовал за присуждение Перельману медали Филдса. Перельман отказался принять это. Сэр Джон Болл, тогдашний президент Международного математического союза, поехал в Санкт-Петербург, чтобы убедить его получить деньги, но Перельман сказал:

«Приз не имел для меня никакого значения. Все понимали, что если доказательство верно, то другого признания не нужно ».
«Меня не интересуют деньги или слава».
В своём отношении к премиям за доказательство гипотезы Пуанкаре Перельман не оригинальничал. Как оказалось, медаль Филдса и премия института Клэя были не единственными проигнорированными им наградами. Десятью годами ранее ещё в 1996 г. он удостаивался премии Европейского математического общества для молодых математиков, но отказался получать её. По-видимому, ощущение, что премии лишают внутренней свободы, живёт где-то глубоко внутри него.

В июне 2010 г. Перельман проигнорировал математическую конференцию в Париже, на которой предполагалось вручение «Премии тысячелетия» в один миллион доллров, а первого июля 2010 г. публично заявил о своём отказе от премии, мотивировав его следующим образом:

«Я отказался. Вы знаете, у меня было очень много причин и в ту, и в другую сторону. Поэтому я так долго решал. Если говорить совсем коротко, то главная причина – это несогласие с организованным математическим сообществом. Мне не нравятся его решения, я считаю их несправедливыми. Я считаю, что вклад в решение этой задачи американского математика Гамильтона ничуть не меньше, чем мой».

Значение доказательства Перельмана

Созданный Григорием Перельманом математический аппарат «потоки Ричи с хирургией» позволяет математически решить вопрос «кризиса Большого Взрыва» – обосновать, как из сопутствующих начальной сингулярности неравномерностей, которые по мере расширения должны были только нарастать, получилась изотропная и однородная по плотности вещества Вселенная.

Без теоремы Пуанкаре -Перельмана повисает в воздухе и попытка физиков создать общую теорию всего – теория суперструн, предполагающая наличие подпространств. Без доказательства Перельмана было топологически неясно, как происходит переход из нашего мира в эти многочисленные измерения, которых в разных вариантах теории предполагается 10 или 11.

Оказалось, что доказательство Перельмана имеет большое значение, в том числе, для квантовой механики. При реализации квантовых состояний в макромире происходит взаимодействие огромного количества систем, соединённых между собой без разрывов геометрической целостности.