Человеческий разум очень ограничен. Примером служит геометрия Лобачевского: судя по всему, она является объективной реальностью (эта геометрия работает в физике на сверхбольших расстояниях), но человеческий разум её не способен вообразить. Для непосвящённых читателей сразу поясню, что геометрия Лобачевского имеет мало отношения к обычному искривлённому пространству, которое мы можем представить.
Возможны и гораздо более тяжёлые случаи. Позволю себе отметить, что меня на некоторых научных форумах считают "фриком", поскольку я верю в реальность паранормальных и сверхъествественных явлений, православных и буддийских чудес и т.д. Мне кажется, всё это в принципе объяснимо. Но однажды я увидел в интернете нечто такое невообразимое, что сутки после этого плохо себя чувствовал. К счастью, такие страдания (от когнитивного диссонанса) довольно быстро заканчиваются.
Можно услышать такую интерпретацию (или аналогию): человеческий разум подобен автомобилю; делая его всё более мощным, можно увеличивать его скорость, но он всё равно никогда не доедет до Луны.
Несмотря на то, что мы не можем вообразить, например, ту же геометрию Лобачевского, мы можем успешно изучать её свойства с помощью метода аналогий. Любая аналогия позволяет строить гипотезы и делать предсказания. Чем "сильнее" (другими словами - "ближе") эта аналогия, тем надёжнее её предсказания. В качестве примера можно привести аналогию между атомом и солнечной системой (популярную до появления квантовой механики). Эта аналогия позволяет делать много правильных предсказаний, например такое: если кинетическая энергия электрона будет достаточно большой, он улетит от ядра на бесконечное расстояние. С другой стороны, эта же аналогия даёт неправильное предсказание: поскольку вращение электрона вокруг ядра должно быть ускоренным, он должен непрерывно излучать энергию, соответственно терять энергию и падать на ядро. В компьютерной химии используется так называемый метод молекулярной динамики - математическая модель, по сути построенная на этой же аналогии (между ньютоновской и квантовой механикой). Эта модель работает тем лучше, чем больше размеры объектов, которые она описывает (т.е. для микрообъектов вроде электронов она не годится - их свойства описывает квантовая, а не обычная механика).
Здесь возникает вопрос – что такое вообще аналогии? Я не могу дать чёткого ответа на данный вопрос, и тем не менее предлагаю два варианта:
1) Если мы интуитивно чувствуем, что что-то можно назвать словом “аналогия”,”метафора”, или например "притча" – это и есть аналогия.
2) Поскольку аналогии позволяют делать предсказания, это может служить и критерием – если какая-то аналогия уже дала верные предсказания, значит она имеет право называться аналогией и может давать другие верные предсказания.
Далее здесь будет озвучена важная идея: количество аналогий может компенсировать качество.
Я уже писал, что много слабых аргументов могут в сумме превратиться в сильный, подобно тому как показания многих людей на суде превращаются в доказательство (если исключить возможность сговора). Здесь работает теорема сложения непроизвольных событий. Приведу пример. Те, кто играют в компьютерные игры (стратегии), начинают немного понимать некоторые законы реальных войн. Скажем, в современных стратегиях часто работает правило “камень, ножницы и бумага”, которое можно перенести и на реальные ситуации. Классический пример: лучники эффективны против копейщиков, поскольку, пока те подойдут, лучники будут долго забрасывать их стрелами; кавалерия эффективна против лучников, поскольку быстро до них доберётся; а копейщики эффективны против кавалерии. Всё это тоже можно называть аналогиями (в широком смысле).
Теперь приведу пример, как множество аналогий позволяют делать более достоверное предсказание. В большинстве стратегий обороняться легче, чем атаковать; это же работает и в реальных войнах (возможны исключения – например, в ядерной войне первым нападать может быть легче). Так вот, в разных стратегиях это правило реализуется по-разному: в одной обороняться легче за счёт эффекта “стены огня”; в других – обороняющаяся сторона имеет тактическую инициативу и может контратаковать там, где это наиболее выгодно; в третьих – атакующая сторона более уязвима для разных бомбардировок, т.к. она перемещается; в четвёртых – на своей территории снабжать войска легче, и т.д.
Теперь приведу пример, как с помощью аналогий можно изучать свойства той же геометрии Лобачевского. Ниже представлены три подходящие аналогии:
1) Модель Пуанкаре
Назовём “прямой” в кавычках дугу окружности, перпендикулярную внешней поверхности круга (т.е. под каким углом эта дуга выходит из стенки круга, по таким же углом и входит в эту стенку; линия от центра круга до стенки делит эту дугу на две симметричные половины).
Назовём эти “прямые” “параллельными” в кавычках, если они не имеют общих точек. Получаем “теорему”:
Через одну точку можно провести любое число “прямых”, “параллельных” данной “прямой” Это свойство модели Пуанкаре объединяет её с геометрией Лобачевского.
2) Модель верхней полуплоскости
Назовём “прямыми” окружности, которые делятся пополам осью X. Получается то же самое, что в предыдущей модели.
3) Модель на гиперболоиде
В этой модели “линиями” называются области пересечения между гиперболоидом (поверхностью, образованной вращением гиперболы вокруг оси Z на рисунке) и плоскостями, проходящими через центр координат.
Теперь перейдём к практическому использованию этих аналогий. Возьмём первую и вторую модель, и определим, какая в них должна быть сумма углов треугольника:
Из рисунков видно, что сумма углов треугольника получается меньше 180 градусов (строго говоря, верхний и левый угол на первом рисунке, как и два нижних угла на втором рисунке, должны быть равны нулю, а оставшийся угол треугольника меньше 180 градусов). Действительно, в геометрии Лобачевского есть теорема, что сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов и может быть сколько угодно близкой к нулю. Из этого примера видно, что аналогии позволяют изучать свойства всего того, что мы не способны вообразить.
Отмечу, что очень неправильно называть геометрию Лобачевского "искривлённым пространством". Это тоже можно назвать аналогией, но слишком слабой. Искривлённое пространство вообразить нетрудно, но суть в том, что в таком пространстве, например, на поверхности сферы, сумма углов треугольника должна быть больше 180 градусов. Поэтому поверхность сферы (она называется сферической геометрией) служит довольно хорошей аналогией так называемой геометрии Римана: в этой геометрии сумма углов треугольника также больше 180 градусов, но её отличие от сферической геометрии заключается в том, что на поверхности шара две "прямые" всегда имеют две точки пересечения, в то время как в геометрии Римана - только одну. Геометрию Римана, как и геометрию Лобачевского, человек вообразить в уме не может.
Другие мои статьи вы можете посмотреть на моём сайте:
